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Tengo una pregunta sobre el método Simplex para resolver problemas de optimización lineal. Tengo el siguiente problema: f (x, y, z) x2y3z Restricciones: xyz leq 3 2x2yz geq 4 Así que mi primer cuadro es (a y b son las variables flojas) En la medida en que he entendido, elijo la columna mediante la búsqueda de la Número más pequeño en la última fila (que representa la función) que está aquí -3. Entonces tengo que dividir este número por cada valor en la columna v. El resultado más pequeño allí me muestra qué fila es la fila del pivote así que tengo el elemento. Así que mi siguiente cuadro es así, vería que -3 es el número más pequeño de la última fila, por lo que la columna que contiene los valores de la variable de holgura b es la columna de pivote. Pero en la solución a este problema, que ahora utiliza 4 (por lo que la columna y) y no entiendo por qué se preguntó Jan 11 14 en 16: 54Simplex On Line Calculator. El método Simplex en línea Aplicattion. Conceptos básicos y principios La aplicación Simplex On Line Calculator es útil para resolver problemas de programación lineal como se explica en las secciones de la teoría de Mathstools. Aplica algoritmo de dos fases o simplex cuando se requiere. No introduzca variables flojas o artificiales, la Calculadora Simplex On Line lo hace por usted. Además, hay una versión de Android para dispositivos Android en este enlace Simplex On Line Calculator permite al usuario ver en detalle la ejecución simplex paso a paso y cada una de las fases del método de dos fases. Teoría extendida El algoritmo simplex realiza iteraciones entre los puntos extremos de la región factible, comprobando cada uno si se mantiene el criterio Optimalit. Para usarlo correctamente, sólo reescriba su problema en forma estándar como se explica en la sección de Programación Lineal. La ventana del programa se abre con un problema predeterminado, que tiene una solución finita óptima. La aplicación consta del siguiente menú: 1) Reiniciar La pantalla de nuevo en el problema por defecto. 2) Dualize Transforma el problema en su dual. 3) Añadir Columna Añadir una columna a la matriz de restricciones (y por lo tanto al vector de costos). 4) Añadir fila Añade una fila a la matriz de restricciones (y por lo tanto a las restricciones vectoriales), es decir, una dimensión y un problema. 5) Borrar columna Elimina una columna de la matriz (y por lo tanto cuesta Vector). 6) Borrar fila Elimina una fila de la matriz (y, por tanto, el vector de restricciones). 7) Execute Ejecuta el algoritmo simplex y obtiene la solución final. 8) Step-By Step Execute Ejecuta el método simplex o two-phase que permite mirar cada paso y fase del algoritmo simplex. Utilizamos queremos añadir algo Post de otros usuarios cassamo: la refinería de crudo utiliza tres (1,2 y 3) para producir cuatro productos (gasolina, queroseno, diesel y residual) El costo de las materias primas y los precios de venta de los productos se muestran en el diagrama . Crudo1 (110 / bbl) gasolina (360 / bbl) crudo2 (75 / bbl) caja negra queroseno (240 / bbl) crudo3 (90 / bbl) gasoleo Rendimiento de cada uno de los crudos procesados ​​en términos de los productos deseados. Rendimiento por volumen El método Simplex El método Simplex El método simplex es un algoritmo algebraico para resolver problemas de maximización lineal. Comenzando en el origen, este algoritmo se mueve de un vértice de la región factible a un vértice adyacente de tal manera que el valor de la función objetivo aumenta o permanece igual que nunca disminuye. Este movimiento continúa hasta que se alcanza el vértice que produce la solución óptima. Usaremos el ejemplo a continuación para demostrar cómo y por qué funciona el método simplex. Este es el mismo ejemplo utilizado en la introducción geométrica a la página de programación lineal. Ejemplo de Fabricación de Carpas Un fabricante de carpas ligeras de montaña hace un modelo estándar y un modelo de expedición para distribución nacional. Cada tienda estándar requiere 1 hora de trabajo del departamento de corte y 3 horas de trabajo del departamento de montaje. Cada tienda de expedición requiere 2 horas de trabajo del departamento de corte y 4 horas de trabajo del departamento de montaje. El número máximo de horas de trabajo por día en el departamento de corte y en el departamento de montaje es de 32 y 84 respectivamente. Si la empresa obtiene un beneficio de 50 en cada tienda estándar y 80 en cada tienda de expedición, cuántas tiendas de cada tipo se deben fabricar cada día para maximizar el beneficio diario total (suponiendo que todas las carpas pueden ser vendidas). Modelo matemático para este problema: Modelo Matemático Alternativo En el método simplex, cada restricción de desigualdad se escribe como una ecuación introduciendo una variable de holgura. La desigualdad de las restricciones de corte se escribe como una ecuación introduciendo la variable s1: El valor de la variable s1 representa el número de horas de trabajo que están disponibles para cortar las tiendas pero que no se usan. Por ejemplo, supongamos que cada día se fabrican 10 tiendas de cada tipo. El número de horas de trabajo necesarias para cortar 10 tiendas estándar (a 1 hora por tienda) es de 10 horas y el número de horas de trabajo necesarias para cortar 10 tiendas de expedición (a 2 horas por tienda) es de 20 horas para un total de 30 Horas que es 2 horas menos que las 32 horas de trabajo disponibles para la operación de corte. Estas 2 horas de trabajo disponibles, pero no utilizadas, representan la holgura y el valor de s 1 sería 2 horas de trabajo. Dada la restricción original (x 1 2x 2 32) sabemos que s 1 0. (Esto es cierto para todas las variables de holgura) De una manera similar, la segunda desigualdad puede escribirse como una ecuación introduciendo una segunda variable de holgura s 2 . Cuyo valor representa el número de horas de trabajo disponibles para la operación de ensamblaje, pero que no se utilizan: Si se fabrican 10 tiendas de cada tipo, el número de horas de trabajo requerido para montar las tiendas estándar (3 horas por tienda) es de 30 Y el número de horas de trabajo necesarias para el montaje de las tiendas de expedición (de 4 horas por tienda) es de 40, lo que supone un total de 70 horas de trabajo 14 horas menos que las 84 horas de trabajo disponibles para la operación de montaje. En este caso, entonces, el valor de s 2 sería de 14 horas de trabajo. Finalmente, la función objetivo se escribe en la misma forma que las nuevas ecuaciones de restricción (con las variables a la izquierda y un término constante a la derecha): Poniendo todas las piezas juntas, el modelo matemático alternativo se convierte en: Soluciones Básicas En esta alternativa matemática , Las variables se pueden dividir en dos grupos mutuamente excluyentes (básicos y no básicos) con la restricción de que siempre hay tantas variables básicas como las ecuaciones. En cada caso, las variables no básicas se ponen a cero y luego se calculan los valores correspondientes de las variables básicas. Estos valores representan una solución básica. Si todos los valores de una solución básica satisfacen las restricciones no negativas, es una solución básica factible. Si un problema de maximización tiene una solución en absoluto, estará en una (o posiblemente más) de estas soluciones básicas factibles. En la tabla a continuación, he demostrado cómo las cuatro variables en nuestro modelo pueden dividirse en variables básicas y no básicas de seis maneras diferentes. Puede identificar las variables no básicas por el hecho de que se han puesto a cero. A continuación, resolvemos los valores de las variables básicas (utilizando las ecuaciones de restricción en el modelo matemático alternativo anterior). Los resultados se muestran en la tabla de abajo. Obsérvese que, para cada solución básica, el par ordenado (x1. X2) es la intersección de dos líneas en la representación gráfica de este problema. También debe notar que no todas las soluciones básicas son soluciones factibles. Cualquier solución en la que el valor de una variable es negativa no es una solución factible ya que viola al menos una de las restricciones no negativas. En consecuencia, las dos soluciones básicas del medio no son factibles. Obsérvese que las soluciones factibles corresponden a los vértices de la región factible. Finalmente, podemos calcular el beneficio de cada solución factible para determinar qué solución genera el mayor beneficio. El beneficio diario máximo es de 1.480 cuando la empresa fabrica 20 tiendas estándar y 6 tiendas de expedición por día. El cuadro inicial El enfoque adoptado en la sección anterior funciona bastante bien con problemas muy simples, pero no se ajusta bien a problemas más grandes y más difíciles. El método simplex es un algoritmo algebraico que nos permite llegar al mismo resultado sin la necesidad de una representación gráfica del problema ni la necesidad de determinar ninguna de las soluciones factibles. En esencia, comienza en la solución factible en el origen y genera soluciones factibles adicionales de tal manera que cada solución sucesiva es al menos tan buena como la solución previa y usualmente mejor. El algoritmo termina cuando se alcanza la solución óptima. El algoritmo comienza con una representación matricial del modelo matemático alternativo como se muestra aquí: Este es el cuadro inicial. Los encabezados de las columnas son para recordarnos qué variable está asociada con los coeficientes de la columna. Cada cuadro representa una solución básica factible. Los encabezados de las filas de un cuadro indican las variables básicas (s 1 y s 2 en este cuadro inicial) y la función objetivo (P). Las variables restantes (x 1 y x 2 en este caso) son variables no básicas. Como se señaló anteriormente, las variables no básicas de cualquier solución básica tienen un valor de 0. Por consiguiente, x 1 0 y x 2 0 y nuestro modelo matemático alternativo se convierte en: o, ignorando los términos cero: Obsérvese que estos valores para las variables básicas Y el valor de la ganancia se puede encontrar en la columna más a la derecha del cuadro inicial. Esto es cierto para cada cuadro generado por el método simplex. Resumen de las propiedades de Tableau Cada cuadro representa una solución básica factible. Las variables básicas se indican con los encabezados de las filas. Los valores de estas variables básicas se pueden encontrar en la columna más a la derecha del cuadro. Las variables restantes son variables no básicas y tienen un valor de 0. El valor de la función objetivo también se puede encontrar en la columna más a la derecha del cuadro. La primera operación de pivote La operación de pivote transforma un cuadro dado en un cuadro nuevo que representa una solución básica factible diferente para la cual el valor de la función objetivo es mayor o igual que el valor anterior. Por consiguiente, cada operación de pivote resulta en una solución factible que está más cerca de la solución óptima. La columna pivote La columna pivote corresponde a la variable más influyente la variable que tiene la mayor capacidad para aumentar el valor de la función objetivo. En nuestro ejemplo, cada tienda estándar aumenta el beneficio en 50, pero cada tienda de expedición aumenta el beneficio en 80. Por consiguiente, la variable más influyente es el número de tiendas de expedición. En el cuadro, los coeficientes de la función objetivo son negativos, de modo que la columna pivote es la columna en la que aparece el valor más negativo en la fila inferior (la fila que corresponde a la función objetivo): Miremos más de cerca lo que somos Haciendo eligiendo la columna pivote. Como se señaló anteriormente, el cuadro inicial representa la solución básica factible en el origen de la esquina inferior izquierda de la región factible. Desde allí podemos mover hacia la derecha (aumentar x 1) o moverse hacia arriba (aumentar x 2) como se ilustra aquí: El algoritmo elige la dirección basada en la variable más influyente. Como se mencionó anteriormente, la fabricación de una tienda de expedición tiene un mayor impacto en el beneficio que la fabricación de una tienda estándar. Por consiguiente, el algoritmo elige subir (para aumentar el número de tiendas de expedición): La fila de pivote Para cada fila que corresponde a una variable básica y que tiene un valor positivo en la columna de pivote, encuentra el cociente que obtienes si divides Término constante (en la columna más a la derecha) por el valor en la columna pivote. La fila pivote es la fila que produce el cociente más pequeño. Todas las filas excepto la fila inferior corresponden a variables básicas. En nuestro ejemplo, ambas filas tienen un valor positivo en la columna de pivote. En la primera fila, el cociente es 32/2 16. En la segunda fila, el cociente es 84/4 21. Por lo tanto, la primera fila es la fila del pivote (porque su cociente era más pequeño): Este proceso aparece algo arbitrario así que mira más de cerca. Ya hemos visto que la elección de la columna pivote significa que nos moveremos hasta encontrar nuestra siguiente solución básica. Como se puede ver en la imagen de abajo, hay dos soluciones básicas en esa dirección, pero sólo una de ellas (la inferior) es factible. Esta técnica para elegir la fila de pivote nos mueve a la siguiente solución básica factible (en la dirección deseada). Resuelva la ecuación de la línea roja (que corresponde a la restricción de corte) para x2: Esta es la forma de intersección de pendiente de la ecuación de la línea e indica que la línea cruza el eje x2 en 16. De manera similar, resuelva la ecuación De la línea verde (que corresponde a la restricción de montaje) para x2: A partir de esta ecuación, podemos ver fácilmente que la línea verde cruza el eje x2 en 21. En efecto, el cociente obtenido dividiendo el término constante en un dado Fila por el valor en la columna de pivote es la distancia desde la solución básica actual a otra solución básica medida en la dirección del eje de la columna de pivote. Al seleccionar la fila con el cociente más pequeño, el algoritmo selecciona la más cercana de estas soluciones básicas que siempre será otra solución factible: El elemento pivote El elemento pivote es el elemento en la intersección de la columna pivote y la fila pivote. En nuestro cuadro inicial, el elemento de pivote es 2: La operación de pivote La operación de pivote transforma el cuadro de la solución actual en el cuadro que corresponde a la siguiente solución. La variable correspondiente a la columna de pivote (la variable de entrada) reemplaza la variable que corresponde a la fila de pivote (la variable de salida) en la lista de variables básicas (los encabezados de fila). El proceso es básicamente el mismo que el utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación gaussiana. Utilizando las operaciones de fila, establezca el elemento de pivote en 1 y todos los demás valores en la columna de pivote a 0. La aplicación de las operaciones da como resultado este nuevo cuadro donde la variable x 2 reemplaza s 1 en la lista de variables básicas: Hecho con su calculadora TI-83. Resumen de las propiedades de Tableau (Revisited) Cada cuadro representa una solución básica factible. Las variables básicas se indican con los encabezados de las filas (x 2 y s 2 en este cuadro). Los valores de estas variables básicas se pueden encontrar en la columna más a la derecha del cuadro (x 2 16, y s 2 20). Las variables restantes son variables no básicas y tienen un valor de 0 (x 1 0 y s 1 0). El valor de la función objetivo también se puede encontrar en la columna más a la derecha del cuadro (P 1,280). Usted notará que esta solución corresponde al vértice superior de la región factible. Guardando su trabajo Guardé los cuadros iniciales como matriz A por lo que es seguro guardar la respuesta después de la primera operación de pivote como matriz B. Desea guardar su trabajo porque si usa su calculadora para cualquier otra cosa, como encontrar los cocientes en El siguiente paso, tendrá que iniciar las operaciones de la matriz de nuevo desde el principio. La segunda operación de pivote Dado que hay un valor negativo en la fila inferior de este nuevo cuadro, no hemos terminado y debemos repetir todo el proceso de nuevo. Pivot Column Ya que acabamos de terminar con el número de tiendas de expedición, lo único que podemos hacer ahora para aumentar los beneficios es aumentar el número de tiendas estándar. Esto se refleja en el hecho de que la única columna con un valor negativo en la fila inferior es la columna x 1 que se convierte en la columna pivote: Nuevamente, ayuda a mirar esto gráficamente. En la siguiente ilustración, queremos pasar de nuestra solución actual a otra, mejor solución. Podemos mover hacia abajo oa lo largo de la línea roja. Mover hacia abajo es contraproducente ya que conduce de nuevo a donde empezamos. En consecuencia, la única opción real es moverse a lo largo de la línea roja hacia las soluciones básicas en esa dirección. La pendiente (x 2 / x 1) de la línea roja es -1/2. Por consiguiente, para cada dos tiendas adicionales estándar que hacemos, debemos reducir el número de tiendas de expedición por 1. Nuestra ganancia aumentará 100 para esas 2 tiendas estándar adicionales, pero disminuirá en 80 para la tienda de expedición que ya no podemos hacer. En consecuencia, el cambio neto en el beneficio es de 20 por cada 2 tiendas estándar o 10 por tienda. Esto se refleja en el valor -10 en la parte inferior de la columna pivote. Fila de pivote La segunda fila es la fila de pivote ya que 20/1 20 es menor que 16 / 0.5 32. Estos cocientes representan la distancia (paralela al eje x 1) a las dos soluciones básicas a lo largo de la línea roja. Sólo la primera solución es factible (x 1 20). La segunda solución (x 1 32) no es factible. Observe una vez más que este proceso de selección, como la fila pivote, la fila con el cociente más pequeño, nos mueve a la próxima solución factible en la dirección deseada. La operación de pivote Puesto que el elemento de pivote es ya 1, todo lo que necesitamos hacer es realizar operaciones de fila que harán que los valores restantes en la columna de pivote sean iguales a 0. Aplicando las operaciones resulta en este nuevo cuadro donde la variable x 1 reemplaza s 2 in La lista de variables básicas: Las operaciones de filas indicadas anteriormente se pueden realizar con la calculadora TI-83. Resumen de las propiedades de Tableau (Revisited Again) Cada cuadro representa una solución básica factible. Las variables básicas se indican con los encabezados de las filas (x 1 y x 2 en este cuadro). Los valores de estas variables básicas se pueden encontrar en la columna más a la derecha del cuadro (x 1 20, y x 2 6). Las variables restantes son variables no básicas y tienen un valor de 0 (s 1 0 y s 2 0). El valor de la función objetivo también se puede encontrar en la columna más a la derecha del cuadro (P 1,480). Esto representa la solución óptima ya que no hay términos negativos en la fila inferior. El beneficio máximo de 1.480 al día se puede hacer mediante la fabricación de 20 tiendas estándar y 6 tiendas de expedición cada día. El gráfico de abajo ilustra el camino que hemos tomado desde el origen hasta la solución óptima. Este programa de producción utiliza completamente el número de horas para cortar y ensamblar ya que ambas variables flojas tienen un valor de 0. 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